量子力学笔记

Some review

• 电磁学笔记见大学物理（二）
• 热平衡时理想气体中的每个粒子平均动能
• 单缝衍射中心条纹宽度 为其他条纹宽度的2倍

前量子力学

Bohr 氢原子理论

• 基态 ，第一激发态
• 尝试用动量、角动量、能量代换来规避相对论效应计算，例如

类氢离子

• 轨道半径公式：，其中 为 Bohr 半径， 为原子核电荷数
• 电子速度可由牛顿定律推出；若取电子无穷远处静电势能为零，则系统势能 $E_n = -\frac{Z}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r_n} + \frac{1}{2}m_e v_n^2 = -\frac{Z}{8\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r_n}=-\frac{Z^2E_0}{n^2}$
  其中

理论缺陷

未考虑吸收体的反冲动能，因此被吸收的光子能量应稍大于能量差，吸收谱与发射谱不同。但这在分子和原子跃迁中可以忽略不计。

量子力学基本原理

物质波

⚠️ 易错！！ 物质波频率 ，其中 为 相速度

• 已知物质波波长时，能量通常不用 而用动量计算： $$E^2=p^2c^2+E_0^2$$ 注意 不是物质动能。将 代入可得 $E_k^2+2E_0E_k=p^2c^2$
  当电子的波长 时，对应速度 ，此时动能 （约为静能的 0.5%），相对论效应可忽略：$\lambda=\frac{h}{\sqrt{2m_0E_k}}$
• 求电子总能量时记得加上电子静能

不确定关系

$$\Delta x\cdot\Delta p_x\ge\hbar/2$$

变换可得 $\Delta E\cdot\Delta t\ge\hbar/2$

薛定谔方程

• 高斯积分公式：$\int_{\mathbb{R}}e^{-kx^2}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{k}}$
• 一维无限深势阱中，[
  E_n = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2m a^2} n^2
  ]
• 定态问题的一般求解过程：
  

  算符

• 常用公式：
  • [ \left[ \hat{\vec{p}}, F(\vec{r}) \right] = -i\hbar \nabla F(\vec{r}) ]
  • [ \vec{J} = \frac{i\hbar}{2m} \left[ \Psi \nabla \Psi^ - \Psi^ \nabla \Psi \right] ]
• 计算积分时充分利用正交归一性