线性代数的几何本质
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学习线性代数的本质后建立的几何直觉
以下结论均基于二维或三维向量，省略了教科书上的标准代数定义，旨在建立可视化的几何直觉(visual geometric intuitions)
设
- 线性变换
保持网格线平行且等距分布，并保持原点不动。常见线性变换有剪切(sheer)，e.g. ；旋转(rotation)，e.g. 的行列式(determinant) 表示面积或体积的有向缩放比例，行列式为零时发生降维，所降到的维数取决于秩(rank) - 线性方程组
的求解：找到经变换 后变成 的向量 只要不降维就存在逆变换(inverse) 的列表示基向量(basis) 变换后的位置 - 经变换
后落到原点的向量组成零空间(null space or kernel) - 非方阵(nonsquare matrices)：不同维度空间之间的映射
- 点积(dot product) 代数与几何定义之间的联系来自于对偶性，详见11分16秒
两个向量叉积(cross product) 数值上等于向量张成的平行四边形有向面积
经变换
后方向不变的向量 为 的特征向量(eigenvector)， 的缩放比例为特征值(eigenvalue) - 对于三维旋转变换，旋转轴上的向量为特征向量，特征值为1
- 结合第6点，
- 对于二维旋转变换
，其特征多项式为 ，它有特征向量和特征值吗？读者不妨细品
- 线性空间：Abstractness is the price of generality（普适的代价是抽象）
- Cramer’s rule: 对于线性方程组
， 等于 与单位正交基（除去第 个基向量）张成的有向平行四边形面积或平行六面体体积 - 变换后面积或体积等于
，其中 表示将 的第 列换成 等于缩放比例 
则有
